안녕하세요!

개념원리의 온라인 AI수학 솔루션,

풀자입니다 🙌

오늘은 수학적 귀납법 편인데요,

수학적 귀납법에는 어떤 개념이 들어있는지

어떤 형식으로 명제를 증명하는지

등식 혹은 부등식에서 어떻게 증명하는지

하나하나 알려드릴게요! ☺️

수학적 귀납법은

수학1에서 제일 마지막에 배우는 개념입니다.

숫자를 통하여 어떤 일반적인 경우에 대해 설명하는 것을

수학적 귀납법이라고 하는데요,

자연수에는 크기라는 순서가 있다는 점을 이용해서

어떠한 가정을 증명하는 것입니다.

따라서,

자연수 n에 관한 어떤 명제 P(n)이

모든 자연수 n에 대하여 성립한다는 것을 증명하는 데

1부터 2, 3, 4, 5,,, 등 모든 자연수를

다 일일이 대입해서 성립함을 증명하기에는

자연수는 무한함으로 끝이 없기 때문에

첫번째로, n이 제일 작은 자연수인 1인 경우에 대해

P(1)이 성립함을 증명해 보이고,

두번째로, 임의의 자연수인 k에 대하여

P(k)가 성립한다고 가정했을 때,

P(k)의 양변에 어떠한 수나 식을 더하거나 곱하는 등

여러 가지 방법을 통해

P(k+1)도 성립함을 증명합니다.

이는 1부터 시작해서

1씩 계속 더해가면

모든 자연수를 구성할 수 있기 때문에

위와 같은 형식으로 증명하는 거죠! 😮

이 수학적 귀납법을 학습하는 단원에는

이전에 배웠던

수학(하)의 명제와

수학1의 수열 개념이 포함되어 있어요.

어떤 일반적인 경우에 대해 증명할 때

그 일반적인 경우를 명제로 표현하는데요,

예를 들어

모든 자연수에 대하여 (어떠한 식)이 성립한다는 것을 증명할 때,

‘모든 자연수에 대하여 어떠한 식’이 명제인거죠!

또한,

수열의 귀납적 정의 다음으로 배우는

수학적 귀납법에서

명제에 해당하는 어떠한 식이 수열로도 표현되기도 합니다.

따라서 수학적 귀납법을 학습하기 전에

명제와 수열에 대해 먼저 복습하는 게 좋겠죠?

이 수학적 귀납법에서는

크게 두 가지로 나눠서

등식이나 부등식에 관하여 증명하는데요,

등식의 경우,

성립함을 보이기 위해서

P(k)에서 P(k+1)이 되도록

양변에 특정한 수나 식을 더하거나 곱하여

P(n)에 k+1을 대입했을 때와 같음을 보여주면 됩니다.

P(k+1)의 값에 따라

어떤 수나 식을 더하거나 곱해야 할지 유추되기 때문에

대부분의 학생들이 쉽게 이해하는 등식과는 달리

부등식은 어려워하는 경향이 있는데요,

부등식은

P(k)에서 P(k+1)이 만들어지도록

양변에 특정한 수나 식을 더하거나 곱한 것이

P(n)에 k+1을 대입했을 때보다 크거나 작음을 보여야 하기 때문입니다.

이 대소 관계를 판단하는 것은

그저 부등식의 대소 관계를 이용하여 보인다고 생각할 수도 있지만

수학(하)의 명제 단원에서 배우는

절대부등식 부분에서 배운

‘부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질’의 내용이 연결됩니다.

모든 자연수에 대하여 항상 성립하는 부등식임을 보이기 위해

실수의 성질을 이용하여 부등식을 증명하는 거죠.

여기서 사용되는 실수의 성질은

a, b가 실수일 때 a-b>0은 a>b인 것과 같다는 건데요! 🤓

P(k)에서 P(k+1)이 만들어지도록

양변에 특정한 수나 식을 더하거나 곱한 것에서

P(n)에 k+1을 대입한 것을 빼고

0보다 큰지 작은지에 따라

크기를 비교함으로써 명제가 성립함을 보이게 됩니다.

이 수학적 귀납법은

주로 박스에 들어갈 식이나 수가 무엇인지 유추하는

빈칸추론 문제로 시험에 많이 출제되는데요,

이번 시간에

수학적 귀납법을 이용한 부등식의 증명 문제를 한번

풀어볼까요? 🧐

잠시 스크롤을 멈추고,

아래 문제를 연습장에 한번 풀어보세요!

위에서 설명드렸던 방식대로

수학적 귀납법을 풀어보셨나요?

위 문제에 대한 자세한 해설과

단계별 개념을 체크하고 싶다면

자세한 문제 해설 영상까지 첨부해두었으니

아래 영상에서 확인해주세요!

오늘은 수학적 귀납법이

어떤 형식으로 구성되어 있는지

어떤 개념을 학습해야 하는지 알려드렸는데요.

다음 주에는 문자와 식 계통도와 함께

나머지정리에 대한

더욱 알찬 내용으로

다시 찾아오도록 하겠습니다 😍

오늘도 풀자하세요! (ㅎㅎ)