안녕하세요!

개념원리의 온라인 AI수학 솔루션,

풀자입니다 🥰

오늘은

이차방정식의 근의 분리 편인데요,

이차방정식의 근의 분리는 무엇이고

근의 분리에는

어떤 개념들이 연계되어 있는지

하나하나 알려드릴게요! 👊

이차방정식의 근의 분리는

수학(상)에서 배우는 개념인데요,

‘이차방정식’이라고 되어 있기 때문에

이차방정식 단원에서 배울 것 같지만!!

-이차방정식

-이차방정식과 이차함수

-이차부등식

-연립부등식

이 개념들이 모두 쓰이기 때문에

이차부등식까지 배운 뒤에

학습하는 개념입니다.

이차방정식의 근의 분리는

이차방정식의 두 실근과

어떤 실수와의 위치 관계에 대해

주어진 조건에 따라

근의 위치를 판별하는 것을 의미하는데요.

예를 들어

이차방정식의 두 실근이 모두

어떤 실수 p보다 크다고 했을 때,

두 실근이 p보다 클 때의

근의 위치가 어떠해야 하는지

조건을 따져가며 문제를 풀어가는거죠.

이 이차방정식의 근의 분리에서는

두 실근의 위치를 판별하기 위해

이차항의 계수에 따라

위로 볼록한지 아래로 볼록한지

이차함수 그래프를 그려보고

세 가지 조건을 확인하면 되는데요 

첫번째로 f(x) = 0 의 판별식 D의 부호입니다.

문제에서 두 실근이라고 했기 때문에

x축과 만나야 하고, 그에 따라서 판별식은

D ≥ 0 이어야 합니다.

두번째로는 경계에서의 함숫값의 부호입니다.

문제에서 주어진 어떤 실수 p가

두 실근과 어떤 위치로 주어졌냐에 따라서

주어진 실수를 대입한 함숫값 f(p) 의 부호가 정해지는데요.

직접 그래프를 그려보고

함숫값의 부호가 0보다 큰지 작은지

판단하는게 제일 좋지만

두 근이 모두 주어진 실수 p보다 크거나 작은 경우에는

항상 0보다 크다는 것을 알 수 있어요 😎

마지막으로 세번째로는

y = f(x) 의 그래프의 축의 위치입니다.

판별식 D ≥ 0 이고,

어떤 실수를 대입한 함숫값 f(p) > 0 이면

두 실근이 모두 p보다 크거나 작다는 것은 알 수 있지만

이 중 큰지 작은지에 대한 판별이 어렵기 때문에

그래프의 축과 p의 위치를 이용하여 알아내는 거에요! 

이러한 이차방정식의 근의 분리 조건에는

이전에 배운 개념들이 사용되는데요!

앞서 설명 드렸던 것처럼

-이차방정식

-이차방정식과 이차함수

-이차부등식

-연립부등식

의 개념들이 사용되어요. 😉

이차방정식에서 배운 판별식 D를 통하여

x축과 만나는 점의 개수가 몇 개인지에 대한

판별식과 x축과의 관계를 알 수 있습니다.

또한, 이차방정식과 이차함수에서 배운

이차방정식과 이차함수의 관계를 통하여

이차방정식의 두 실근은

이차함수의 그래프와

x축의 교점의 좌표로 이어진다는 것을 알 수 있죠.

그리고 이차함수의 그래프 개념을 통해

직접 그래프를 그려보면서

이차항의 계수가 양수인지 음수인지에 따라

개형이 위로 볼록한지 아래로 볼록한지 판단하고

대칭축을 구합니다.

마지막으로

이차부등식과 연립부등식 개념을 통해

조건에서 구한 식들을 계산하여

이차부등식의 값을 구하고 다른 부등식과 연립하여

문제의 답을 구합니다.

이차방정식의 근의 분리 개념이 어렵다고 느껴진다면

해당 연계 개념들이 부족한 게 아닌지 생각하고

복습하는 것을 추천드립니다!

이차방정식의 근의 분리는

총 네 가지 경우로 나뉘는데요.

주어진 실수 p, q 에 대하여 이차방정식의 두 실근이

1. 두 근이 모두 p보다 큰 경우

2. 두 근이 모두 p보다 작은 경우

3. 두 근 사이에 p가 있는 경우

4. 두 근 모두 p, q (p < q) 사이에 있는 경우

입니다. 😸

두 근이 모두 보다 크거나 작은 경우에는

위에서 설명드린 세 가지 조건을 확인하여 구하면 되는데요.

두 근 사이에 가 있는 경우에는

반드시 x축과 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로

항상 판별식 D > 0 이고

축의 위치는 알 수 없으므로

경계에서의 함숫값 f(p) 의 부호만 확인하면 돼요! 😁

또한, 두 근 모두 사이에 있는 경우에도

위에 설명 드린 세 가지 조건을 확인하면 되는데

단, 두 실수가 주어졌기 때문에

두 실수에 대한 경계에서의 함숫값 f(p) 와 f(q) 의 부호

둘 다 확인해야 하고

두 근 모두 p, q 사이에 있으므로

대칭축이 p, q 사이에 있어야 합니다.

그러면

이차방정식의 근의 분리에 대해 알아보았으니

이차방정식의 근의 분리 문제를 한번

풀어볼까요?

잠시 스크롤을 멈추고,

아래 문제를 연습장에 한번 풀어보세요!

위에서 설명드렸던 방식대로

이차방정식의 근의 분리 문제를 풀어보셨나요? 🥳

위 문제에 대한 자세한 해설과

단계별 개념을 체크하고 싶다면

자세한 문제 해설 영상까지 첨부해두었으니

아래 영상에서 확인해주세요! 😇

오늘은

이차방정식의 근의 분리가 무엇이고

어떤 개념이 연계되어 있는지 알아보았습니다! 

풀자는 항상 여러분의 공부를

응원하고 있어요 🐯🌟

오늘도 풀자와 열공하세요!! 👾